Question

【題目】已知函數，為的導函數，其中.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若方程有三個互不相同的根0，，，其中.

①是否存在實數，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

②若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)①實數不存在；②.

【解析】分析：（1）直接利用導數求函數的單調區間.(2) ①根據已知得到，，，再化簡得到. ②對t分類討論，求，再解

，即得t的取值范圍.

詳解：（1）當時，，

令，得或，

所以的單調增區間為和；

令，得，

所以的單調減區間為.

（2）①由題意知，是方程的兩個實根，

所以，得.

且，，，

由成立得，，

化簡得，

代入得，即，

解得，因為，所以這樣的實數不存在.

②因為對任意的，恒成立.

由，，且，

1.當時，有，所以對，，

所以，解得.

所以.

2.當時，有，

，其判別式.

由，得或，

此時存在極大值點，且.

由題得，

將代入化簡得，解得.

因此.

綜上，的取值范圍是.