Question

【題目】在幾何體中，面，直角梯形中，，，且，且.

（1）求證：平面平面；

（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）過點作交于，連接，根據勾股定理的逆定理可知，，由面可得，根據線面垂直的判定定理可證得平面，再由面面垂直的判定定理即可證出；

（2）易證面，可得為與面所成的角，從而可計算出，再以為原點，分別以，與為軸，建立空間直角坐標系，然后分別求出平面的法向量和平面的法向量，即可由向量法求出二面角的余弦值．

（1）如圖所示：

∵面，∴，

在梯形中，過作交于，∴，，，∴，即，即.

∵，，∴平面，

∵平面∴平面平面，

（2）連接，面，∴為與面所成的角，，∵，∴，∵，，∴，

以為原點，分別以，與為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，可知，

設平面的法向量為，

可知，可取，

設平面的法向量為，

可知，可取，

可知兩向量的夾角的余弦值為.

由圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.