Question

已知離心率為的橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)m的值．
設(shè)計(jì)意圖：考察直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，考察學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用橢圓C₁的頂點(diǎn)A₁，A₂恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)求出頂點(diǎn)A₁，A₂的坐標(biāo)，再利用離心率為即可求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直接利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出k₁•k₂的值即可判斷k₁•k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)；
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）的結(jié)論求出直線PA₂的方程，再利用圓心到直線的距離以及弦長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)m的值．
解答：解：（Ⅰ）雙曲線的左右焦點(diǎn)為（±2，0）
即A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0）．（1分）
所以設(shè)橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則a=2，（2分）
且=，所以，從而b²=a²-c²=1，（4分）
所以橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（5分）

（Ⅱ）設(shè)P（x，y）則，即=（6分）
==．（8分）
所以k₁•k₂的值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，恒為． （9分）

（Ⅲ）由圓C₂：x²+y²-2mx=0得（x-m）²+y²=m²，
其圓心為C₂（m，0），半徑為|m|，（10分）
由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，，
故直線PA₂的方程為即x+2y-2=0，（11分）
所以圓心為C₂（m，0）到直線PA₂的距離為，
又由已知圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長(zhǎng)為及垂徑定理得
圓心C₂（m，0）到直線PA₂的距離，
所以=，即m²+m-2=0，解得m=-2或m=1．（13分）
所以實(shí)數(shù)m的值為1或-2．（14分）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線上兩點(diǎn)的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運(yùn)算能力、探究能力和推理能力．