Question

（09年濱州一模文）（14分）

已知直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為8.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知圓,直線.試證明：當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與圓恒相交，并求直線被圓所截得弦長(zhǎng)的取值范圍.

Answer 1

解析:（Ⅰ）由得，，

所以直線過定點(diǎn)（3，0），即.                       …………………2分

 設(shè)橢圓的方程為,

則,解得，

所以橢圓的方程為.                    ……………………5分

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),所以，      ………………6分

從而圓心到直線的距離

所以直線與圓恒相交.                             ……………………9分

又直線被圓截得的弦長(zhǎng)

，       …………12分

由于,所以,則,

即直線被圓截得的弦長(zhǎng)的取值范圍是.  …………………14分