Question

已知橢圓方程為x²+=1，射線y=2x（x≥0）與橢圓的交點為M，過M作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于A、B兩點（異于M）．
（1）求證直線AB的斜率為定值；
（2）求△AMB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設k＞0，求得M的坐標，則可表示出AM的直線方程和BM的直線方程，分別與橢圓的方程聯立求得x_A和x_B，進而求得AB的斜率．
（2）設出直線AB的方程與橢圓方程聯立消去y，利用判別式大于0求得m的范圍，進而表示出三角形AMB的面積，利用m的范圍確定面積的最大值．
解答：解：（1）∵斜率k存在，不妨設k＞0，求出M（，2），
直線MA方程為y-2=k（x-），直線MB方程為y-2=-k（x-）．
分別與橢圓方程聯立，可解出x_A=-，x_B=-．
則y_A=2-k（x-），y_B=2+k（x-），
k_AB==2；
∴k_AB=2（定值）．
（2）設直線AB方程為y=2x+m，與x²+=1聯立，消去y得16x²+4mx+（m²-8）=0
由△＞0得-4＜m＜4，且m≠0，點M到AB的距離d=．
設△AMB的面積為S．∴S²=|AB|²d²=m²（16-m²）≤•=2．
當m=±2時，得S_max=．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．