在橢圓
中,
為橢圓上的一點，過坐標原點的直線交橢圓于
兩點，其中
在第一象限，過作
軸的垂線，垂足為
,連接
,
（1）若直線
與
的斜率均存在，問它們的斜率之積是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，說明理由；
（2）若為
的延長線與橢圓的交點，求證：
.
活力課時同步練習冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-| 3 |
| 1 |
| 2 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
（2008•閘北區二模）如圖，橢圓C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
設F1、F2分別為橢圓C：
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點.
（1）若橢圓C上的點A（1，
）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設點P是（1）中所得橢圓上的動點，當P在何位置時，
最大，說明理由，并求出最大值。
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知點
為圓
上的動點，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點
的軌跡為曲線
，過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點
，使得
總能被軸平分
【解析】第一問中設
為曲線上的任意一點，則點
在圓
上，
∴
，曲線的方程為
第二問中，設點的坐標為
，直線的方程為
， ………………3分
代入曲線的方程
，可得 
∵
，∴
確定結論直線與曲線總有兩個公共點．
然后設點,的坐標分別
, 
，則
，
要使被軸平分，只要
得到。
（1）設為曲線上的任意一點，則點在圓上，
∴，曲線的方程為． ………………2分
（2）設點的坐標為，直線的方程為， ………………3分
代入曲線的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據點M在橢圓的內部得到此結論）
………………6分
設點,的坐標分別, ，則，
要使被軸平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
當
時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點
，使得
總能被
軸平分
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兩式相減得，
……4分
的方程為
代入
，解得
.
，則
，于是
.
的斜率為
其方程為
，
或
，因此得
，
的斜率為
，因此
……10分.
