Question

已知函數f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a（e≈2.73）．
（1）當a=2時，證明函數f（x）是增函數；
（2）當x≥1時，f(x)≥

(x-1)2

ex

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入函數f（x），對其進行求導，證明其導數大于0即可；
（2）已知x≥1時，g（x）=f（x）-

(x-1)2

ex

，證明g（x）的最小值大于0即可，利用導數研究函數g（x）的最值問題，從而求出實數a的取值范圍；

解答：解：（1）a=2，可得f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2，
可得f′（x）=e^-x-xe^-x+xe^x-2-e^x-2=（x-1）（e^x-2-e^-x），
令g（x）=e^x-2-e^-x，g′（x）e^x-2+e^-x＞0，是增函數，
g（1）=0，
當x≥1時，x-1≥0，g（x）≥g（1）=0，∴f′（x）≥0，f（x）為增函數；
當x＜1時，x-1＜0，g（x）＜g（1）=0，∴f′（x）＞0，f（x）為增函數；
綜上：當a=2時，證明函數f（x）是增函數，即證；
（2）當x≥1時，f(x)≥

(x-1)2

ex

恒成立，令g（x）=f（x）-

(x-1)2

ex

，
可知y=

(x-1)2

ex

在x≥1上是減函數，
對于函數f′（x）=（x-1）（e^x-a-e^-x），在x≥1上是增函數，
∴g（x）在x≥1上是增函數，
可得g（x）_min=g（1），∵當x≥1時，f(x)≥

(x-1)2

ex

恒成立，
可得，g（1）≥0，可得
g（1）=e^-1-e^1-a≥0，解得a≥2；

點評：此題主要考查函數的單調性及其證明，本題利用導數進行證明需要進行二次求導，是一道好題，解題過程中用到了分類討論的思想；