Question

（本小題滿分14分）

                                                                                                                              

已知f(x)＝x²＋bx＋c為偶函數，曲線y＝f(x)過點(2,5)，g(x)＝(x＋a)f(x)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若曲線y＝g(x)有斜率為0的切線，求實數a的取值范圍；

(3)若當x＝1時，函數y＝g(x)取得極值，確定y＝g(x)的單調區間．

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)∵f(x)為偶函數，∴b＝0.          …………………2分

又f(x)過(2,5)，∴4＋c＝5，得c＝1.

∴f(x)= x²＋1                                …………………4分

(2)又g(x)＝(x＋a)f(x)＝(x＋a)(x²＋1)＝x³＋ax²＋x＋a

由題意得g′(x)＝3x²＋2ax＋1＝0有解，

∴Δ＝4a²－12>0，得a>或a<－.             …………………9分

(3)由(1)知g′(x)＝3x²＋2ax＋1，由題意得g′(1)＝0，得a＝－2，經檢驗當a＝－2時，y＝g(x)取得極值符合題意，由g′(x)＝3x²－4x＋1>0，得x>1或x<，由g′(x)<0，得<x<1，

故g(x)的單調增區間為，(1，＋∞)，單調減區間為.   …………………14分

 

【解析】略