Question

（本題滿分16分）

設(shè)數(shù)列的通項是關(guān)于x的不等式　 的解集中整數(shù)的個

數(shù)。（1）求并且證明是等差數(shù)列；

（2）設(shè)m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：＋≥；

（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎？如果成立，

請證明你的結(jié)論，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）不等式即

解得：，其中整數(shù)有2n-1個

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………3分

由通項公式可得：，所以數(shù)列是等差數(shù)列…………………4分

（2）由（1）知，∴ S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．

由 

≥=0，

即≥． ………………………………………………………………10分

（3）結(jié)論成立，證明如下：

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則，

∵

，

把代入上式化簡得

=≥0，

∴ S_m+S_p≥2S_k．

又=

≤

，

∴ ≥．

故原不等式得證．………………………………………………………………16分