Question

【題目】某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機抽測100株樹苗的高度，經數據處理得到如圖（1）所示的頻率分布直方圖，其中最高的16株樹苗的高度的莖葉圖如圖（2）所示，以這100株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.

（1）求這批樹苗的高度高于米的概率，并求圖（1）中，，的值；

（2）若從這批樹苗中隨機選取3株，記為高度在的樹苗數量，求的分布列和數學期望；

（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態分布的概率分布.如果這批樹苗的高度滿足近似于正態分布的概率分布，則認為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗能否被簽收？

Answer 1

【答案】（1）概率為，，，；（2）分布列答案見解析，數學期望；（3）被簽收.

【解析】

（1）結合莖葉圖，求得每組頻率，再求得的值.

（2）根據二項分布的知識求得分布列并求得數學期望.

（3）求得與，由此判斷這批樹苗的高度滿足近似于正態分布的概率分布，應認為這批樹苗是合格的，能被簽收.

（1）由題圖（2）可知，100株樣本樹苗中高度高于米的共有15株，

以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批樹苗的高度高于米的概率為.

記為樹苗的高度，結合題圖（1）（2）可得：

，

，

.

因為組距為，所以，，.

（2）以樣本的頻率估計總體的概率，可得：從這批樹苗中隨機選取1株，高度在的概率為

.

因為從這批樹苗中隨機選取3株，相當于三次獨立重復試驗，

所以隨機變量服從二項分布，

故的分布列為，

即

	0	1	2	3

(或).

（3）由，取，，

由（2）可知，，

又結合（1），可得

，

所以這批樹苗的高度滿足近似于正態分布的概率分布，

應認為這批樹苗是合格的，將順利被該公司簽收.