Question

【題目】如圖,矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直,且∠ BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分別為BE,AE,BC的中點(diǎn).

(1)求證:直線DE與平面FGH平行;

(2)若點(diǎn)P在直線GF上,且二面角D-BP-A的大小為,試確定點(diǎn)P的位置.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

取AD中點(diǎn)M，易得M在平面FHG。另一方面，MG∥DE。故直線DE與平面FGH平行

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)。建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)=λ=(0,2λ,0),求出平面PBD的一個(gè)法向量n1=(5-2λ,,2)。又平面ABP的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),又cos<n1,n2>=,即可得出λ的值。進(jìn)而可求出P點(diǎn)坐標(biāo)。

(1)證明取AD的中點(diǎn)M,連接MH,MG.

∵G,H分別是AE,BC的中點(diǎn),

∴MH∥AB,GF∥AB,∴M∈平面FGH.

又MG∥DE,且DE平面FGH,MG平面FGH,

∴DE∥平面FGH.

(2)如下圖

在平面ABE內(nèi),過(guò)A作AB的垂線,記為AP,則AP⊥平面ABCD.

以A為原點(diǎn),AP,AB,AD所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz.

所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2,-2,0),G(,-1,0),F(,1,0).

則=(0,2,0),=(0,-4,2),=(,-5,0).

設(shè)=λ=(0,2λ,0),

則=(,2λ-5,0).

設(shè)平面PBD的法向量為n1=(x,y,z),

則

取y=,得z=2,x=5-2λ,

故n1=(5-2λ,,2).

又平面ABP的法向量為n2=(0,0,1),

因此cos<n1,n2>=,解得λ=1或λ=4.

故=4