Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．

（1）(本小題滿分7分)選修4—2：矩陣與變換

已知二階矩陣有特征值及對應的一個特征向量．

（Ⅰ）求矩陣；

（Ⅱ）設曲線在矩陣的作用下得到的方程為，求曲線的方程．

（2）(本小題滿分7分)選修4—4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，曲線的參數方程為 （為參數），若圓在以該直角坐標系的原點為極點、軸的正半軸為極軸的極坐標系下的方程為．

（Ⅰ）求曲線的普通方程和圓的直角坐標方程；

（Ⅱ）設點是曲線上的動點，點是圓上的動點，求的最小值．

（3）(本小題滿分7分)選修4—5：不等式選講

已知函數_，不等式在上恒成立．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）記的最大值為，若正實數滿足，求的最大值．

Answer 1

（1）本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想.滿分7分．

解：（Ⅰ）=，∴

解得∴.                         …………………4分

（Ⅱ）設點為曲線上的任一點，它在矩陣的作用下得到的點為，

則，所以

代入得，

所以所求的曲線方程為.     .…………………………7分

（2）本題主要考查直線和圓的參數方程及極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力及化歸與轉化思想.滿分7分．

解：（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為，

圓的直角坐標方程為.                …………………4分（Ⅱ）求的最小值可轉化為求的最小值.

過圓心作射線的垂線，垂足在該射線的反向延長線上，

當點在射線的端點時，，

此時的長最小，故此時取最小值.

所以所求的最短距離為.                       …………………7分

（3）本題主要考查利用絕對值不等式的基本性質求解和證明不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想.滿分7分．

解：（Ⅰ），

.                                    …………………2分

不等式在R上恒成立，

， 的取值范圍為.            …………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

由柯西不等式得：，

.                                …………………5分

當且僅當即時，

的最大值為.                         …………………7分