Question

已知a，b為正實(shí)數(shù)．
（1）若函數(shù)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若e＜a＜b（e為自然對(duì)數(shù)的底），求證：a^b＞b^a；（3）求滿足a^b=b^a（a≠b）的所有正整數(shù)a，b的值．

Answer 1

解：（1）∵，則，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0．
∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：，∴blna＞alnb，即lna^b＞lnb^a，∴a^b＞b^a；
（3）由a^b=b^a得：．
∵當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，∴…，
發(fā)現(xiàn)，
∴a=4，b=2或a=2，b=4．
分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）利用（1）的結(jié)論，若e＜a＜b，則f（a）＞f（b），即，即lna^b＞lnb^a，再由函數(shù)y=lnx的單調(diào)性即可得證
（3）利用（1）的結(jié)論當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，若a^b=b^a（a≠b），則a、b一定分布在e的兩邊，通過(guò)列舉求值可得正整數(shù)a，b的值
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，并利用單調(diào)性證明不等式，解題時(shí)要認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)與已知的聯(lián)系，巧妙而準(zhǔn)確的解決問(wèn)題