Question

【題目】已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）若，求以為直徑的圓被軸所截得的弦長(zhǎng)；

（Ⅱ）分別過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（I）4；

（II）4

【解析】

設(shè)，，聯(lián)立直線和拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，

（I）運(yùn)用弦長(zhǎng)公式可得，以及直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值；

（II）對(duì)求導(dǎo)，求得切線的斜率和方程，聯(lián)立方程求得交點(diǎn)E的坐標(biāo)，以及E到直線AB的距離，弦長(zhǎng)，再由三角形的面積公式，計(jì)算可得所求最小值．

設(shè)，

由聯(lián)立得：，

由韋達(dá)定理得：，，

（I）當(dāng)時(shí)，，

∴，

，

設(shè)的中點(diǎn)為，則，

∴以為直徑的圓被軸所截得的弦長(zhǎng)為

；

（II）對(duì)求導(dǎo)，得，即，

直線的方程為，

即，

同理，直線的方程為，

設(shè)，聯(lián)立與的方程，

解得即，

點(diǎn)到直線的距離，

，

所以的面積

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

綜上，面積的最小值為4.