Question

（本小題滿分1４分）如圖，為等腰直角的直角頂點，、都垂直于所在的平面，

（1）求二面角的大小；
（2）求點到平面的距離；
（3）問線段上是否存在一點，使得平面且若存在，請指出點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）    （2）

（1）作于，平面平面


則向量與所成的角即為二面角的大小.
由計算得故
∴由面積求得，由射影定理可求得.
而則
故，故二面角的大小為
（2）平面，平面，
故A、C、D、E四點共面. 且平面平面
作于,則有平面
，
∴  ∴由故由得即到平面的距離是.
（3）假設線段BE上存在點，使，平面.
平面，平面.又，平面 又（F不與B重合），故平面，則
而由計算得:故這與矛盾,故上不存在,使（或平面，，而過空間一點有且僅有一條直線與已知平面垂直）
向量法：過作平面，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.
（1）設平面的一個法向量為則，
故  
同理：平面的一個法向量為，則 
二面角的大小為
（2）由（1）知平面的一個法向量為，而，
故D到平面的距離是
（3）若上存在使平面，顯然此時故
（上式也可用向量共線與共面定理得到F點的坐標）∴，故與不垂直，故在上不存在符合題意的點。