Question

【題目】已知函數為自然對數的底數) .

（1）若在處的取得極值為1，求及的值；

（2）時，討論函數的極值；

（3）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）當時，函數無極值；當，函數有極小值， 無極大值；（3）1.

【解析】

（1）根據，可求及的值；

（2）求出，對進行分類討論，求函數的極值；

（3）令，直線與曲線沒有公共點，等價于方程在上沒有實數解.由零點存在定理可得的取值范圍，從而求得的最大值.

（1）由，得.

由題意得，，即，

解得，.經檢驗，符合題意.

，.

（2），

①當時，，為上的增函數，所以函數無極值.

②當時，令，得，

.

所以在上單調遞減， 在 上單調遞增，

故在處取得極小值， 且極小值為，無極大值.

綜上，當時，函數無極值；

當，函數有極小值， 無極大值.

（3）當時，.

令，

則直線與曲線沒有公共點，

等價于方程在上沒有實數解.

當時，，

又函數的圖象連續不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數解”矛盾，故.

又時，，此時方程在上沒有實數解.，

所以，的最大值為1.