Question

（2012•湖北）設函數f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n為正整數，a，b為常數，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y=1．
（I）求a，b的值；
（II）求函數f（x）的最大值
（III）證明：f（x）＜

1

ne

．

Answer 1

分析：（I）由題意曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y=1，故可根據導數的幾何意義與切點處的函數值建立關于參數的方程求出兩參數的值；
（II）由于f（x）=xⁿ（1-x），可求f′（x）=（n+1）x^n-1（

n

n+1

-x），利用導數研究函數的單調性，即可求出函數的最大值；
（III）結合（II），欲證f（x）＜

1

ne

．由于函數f（x）的最大值f（

n

n+1

）=（

n

n+1

）ⁿ（1-

n

n+1

）=

nn

(n+1)n+1

，故此不等式證明問題可轉化為證明

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

，對此不等式兩邊求以e為底的對數發現，可構造函數φ（t）=lnt-1+

1

t

，借助函數的最值輔助證明不等式．

解答：解：（I）因為f（1）=b，由點（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0．
因為f′（x）=anx^n-1-a（n+1）xⁿ，所以f′（1）=-a．
又因為切線x+y=1的斜率為-1，所以-a=-1，即a=1，故a=1，b=0．
（II）由（I）知，f（x）=xⁿ（1-x），則有f′（x）=（n+1）x^n-1（

n

n+1

-x），令f′（x）=0，解得x=

n

n+1

在（0，

n

n+1

）上，導數為正，故函數f（x）是增函數；在（

n

n+1

，+∞）上導數為負，故函數f（x）是減函數；
故函數f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（

n

n+1

）=（

n

n+1

）ⁿ（1-

n

n+1

）=

nn

(n+1)n+1

，
（III）令φ（t）=lnt-1+

1

t

，則φ′（t）=

1

t

-

1

t 2

=

t-1

t 2

（t＞0）
在（0，1）上，φ′（t）＜0，故φ（t）單調減；在（1，+∞），φ′（t）＞0，故φ（t）單調增；
故φ（t）在（0，∞）上的最小值為φ（1）=0，
所以φ（t）＞0（t＞1）
則lnt＞1-

1

t

，（t＞1），
令t=1+

1

n

，得ln（1+

1

n

）＞

1

n+1

，即ln（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞lne
所以（1+

1

n

）ⁿ⁺¹＞e，即

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

由（II）知，f（x）≤

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

，
故所證不等式成立．

點評：本題考查利用導數求函數最值及利用最值證明不等式，本題技巧性強，解題的關鍵是能根據題設及證明中的結論構造函數輔助證明，本題是能力型題，難度較大，是高考選拔優秀數學人才的首選題，題后要注意總結本題的解題規律，領會構造法證明不等式的要旨，本題考查了轉化的思想及函數思想，難度較大極易找不到思路或計算出錯，學作為壓軸題出現．