Question

【題目】函數(shù)，．

（1）設是函數(shù)的導函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當時，在區(qū)間上有極大值點，且．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）詳見解析．

【解析】

（1）求導可得，繼續(xù)求導得到，判斷的正負，進而可得到的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞減，結(jié)合時，，可以證明為的極大值點，同時可以知道，而，所以有，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可證明，即可得證.

解：（1）定義域為，

，，

令，，，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，∵，∴，，，設，∵，，∴，∴，∴，使得，時，，時，，所以為函數(shù)的極大值點．

∵，即①，，當時，，且由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以，②，將①代入②整理得：，設，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，所以當時，恒成立．