Question

【題目】已知函數

（I）討論函數的單調性；

（II）設.如果對任意，，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）當a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調增加；

當a≤－1時，＜0, 故f(x)在(0,+)單調減少；

當－1＜a＜0時，f(x)在（0,）單調增加，在（，+）

（2）a≤－2

【解析】

(Ⅰ) f(x)的定義域為(0,+)，.

當a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調增加；

當a≤－1時，＜0, 故f(x)在(0,+)單調減少；

當－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當x∈(0,)時,＞0；

x∈(，+)時，＜0, 故f(x)在（0,）單調增加，在（，+）單調減少.

(Ⅱ)不妨假設x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調減少.

所以等價于

≥4x1－4x2,，即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

令g(x)=f(x)+4x,則+4＝.

于是≤＝≤0.

從而g(x)在（0，+）單調減少，故g(x1) ≤g(x2)，

即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2∈(0,+) ，.