Question

已知S_n=a₁+a₂+…+a_n,n∈N^*.

(1)若S_n=n·2^n-1(n∈N^*),是否存在等差數列{a_n}對一切自然數n滿足上述等式?

(2)若數列{a_n}是公比為q(q≠±1),首項為1的等比數列,b₁+b₂+…+b_n=(n∈N^*).求證:{b_n}是等比數列.

Answer 1

解:(1)假設存在等差數列{a_n}滿足條件.設a_n=nd+a,

∴

+a·(2ⁿ-1)=d·n·2^n-1+a(2ⁿ-1)

=n·2^n-1,

令d=1,a=0滿足上式.

故存在等差數列{a_n}滿足題設.

(2),

∴S=［·(q-1)+·(q²-1)+ …+(qⁿ-1)］

=［(1+q)ⁿ-2ⁿ］.

∴.

當n≥2時,;

當n=1時,滿足上式.

∴.故{b_n}是首項為,公比為的等比數列.