Question

設(shè)無窮等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）若數(shù)列首項為a1=

3

2

，公差d=1，求滿足S_k²=（S_k）²的正整數(shù)k的值；
（2）若S_n=n²，求通項a_n；
（3）求所有無窮等差數(shù)列{a_n}，使得對于一切正整數(shù)k都有S_k²=（S_k）²成立．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的求和公式表示出前n項的和，代入到 Sk2=(Sk)2求得k．
（2）利用n≥2時a_n=s_n-s_n-1求通項公式，但注意n=1時，也符合上式，即可求出通項公式．
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，在 Sn2=(Sn)2中分別取k=1，2求得a₁，代入到前n項的和中分別求得d，進而對a₁和d進行驗證，最后綜合求得答案．

解答：解：（1）當(dāng) a1=

3

2

，d=1時，Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

3

2

n+

n(n-1)

2

=

1

2

n2+n
∴

1

2

k4+k2=(

1

2

k2+k) 2
整理得k3(

1

4

k-1)=0
∴k=0或k=4
又∵k≠0，
∴k=4．
（2）當(dāng)n=1時，s¹=a₁=1
當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2n-1
a₁也符合上式
∴a_n=2n-1
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則在 Sn2=(Sn)2中分別取k=1，2，由（1）得a₁=0或a₁=1．
當(dāng)a₁=0時，代入（2）得d=0或d=6，
若a₁=0，d=0，則a_n=0，S_n=0，從而S_k=（S_k）²成立
若a₁=0，d=6，則a_n=6（n-1），由S₃=18，（S₃）²=324，S_n=216知s₉≠（S₃）²，故所得數(shù)列不符合題意．
當(dāng)a₁=1時，代入（2）得4+6d=（2+d）²，解得d=0或d=2
若a₁=1，d=0，則a_n=1，S_n=n，從而 Sk2=(Sk)2成立；
若a₁=1，d=2，則a_n=2n-1，S_n=1+3+…+（2n-1）=n²，從而S=（S_n）²成立
綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：
∴a_n=0，a_n=1，a_n=2n-1．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和求和公式的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題，歸納推理，創(chuàng)造性思維的能力．屬中檔題．