【題目】已知橢圓
的離心率為
，點
在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點
作互相垂直的兩條直線
、
，其中直線交橢圓于
兩點，直線交直線
于
點，求證：直線
平分線段
.
【答案】(1) 
(2)見證明
【解析】
（1）利用
，得到
，然后代入點
即可求解
（2）設直線，以斜率
為核心參數，與橢圓聯立方程，把
兩點全部用參數表示，得出
的中點坐標為
，然后再求出直線
的方程，代入的中點即可證明成立
（1）由得
，所以
由點在橢圓上得
解得
，
所求橢圓方程為
（2）解法一：當直線
的斜率不存在時，直線平分線段成立
當直線的斜率存在時，設直線方程為
，
聯立方程得
，消去
得
因為過焦點，所以
恒成立，設
，
，
則
，
所以的中點坐標為
直線
方程為
，
，可得
，
所以直線方程為
，
滿足直線方程，即平分線段
綜上所述，直線平分線段
（2）解法二：因為直線與
有交點，所以直線的斜率不能為0，
可設直線方程為
，
聯立方程得
，消去
得
因為過焦點，所以恒成立，設，，
，
所以的中點坐標為
直線方程為
，，由題可得
，
所以直線方程為
，
滿足直線方程，即平分線段
綜上所述，直線平分線段
優學名師名題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐V﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，VO⊥平面ABCD，E是棱VC的中點．
（1）求證：VA∥平面BDE；
（2）求證：平面VAC⊥平面BDE．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數）.以坐標原點
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；
（2）設點
，若直線與曲線相交于
、
兩點，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】古希臘數學家阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法.如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置(兩圓錐的軸重合)，已知兩個圓錐的底面半徑均為1，母線長均為3，記過圓錐軸的平面
為平面
(與兩個圓錐側面的交線為
)，用平行于的平面截圓錐，該平面與兩個圓錐側面的交線即雙曲線
的一部分，且雙曲線的兩條漸近線分別平行于，則雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】工廠質檢員從生產線上每半個小時抽取一件產品并對其某個質量指標
進行檢測，一共抽取了
件產品，并得到如下統計表．該廠生產的產品在一年內所需的維護次數與指標有關，具體見下表.
質量指標 |
|
|
|
頻數 |
|
|
|
一年內所需維護次數 |
|
|
|
（1）以每個區間的中點值作為每組指標的代表，用上述樣本數據估計該廠產品的質量指標的平均值（保留兩位小數）；
（2）用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取
件產品，再從件產品中隨機抽取
件產品，求這件產品的指標都在內的概率；
（3）已知該廠產品的維護費用為
元/次，工廠現推出一項服務：若消費者在購買該廠產品時每件多加
元，該產品即可一年內免費維護一次.將每件產品的購買支出和一年的維護支出之和稱為消費費用.假設這件產品每件都購買該服務，或者每件都不購買該服務，就這兩種情況分別計算每件產品的平均消費費用，并以此為決策依據，判斷消費者在購買每件產品時是否值得購買這項維護服務？
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