Question

【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產品的宣傳費用，需了解年宣傳費x（單位：萬元）對年銷量y（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響.對近6宣傳費xi和年銷售量yi（i＝1，2，3，4，5，6）的數據做了初步統計，得到如下數據：

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年宣傳費x（萬元）	38	48	58	68	78	88
年銷售量y（噸）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

經電腦模擬，發現年宣傳費x（萬元）與年銷售量y（噸）之間近似滿足關系式y＝axb（a，b＞0），即lny＝blnx+lna．，對上述數據作了初步處理，得到相關的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）從表中所給出的6年年銷售量數據中任選2年做年銷售量的調研，求所選數據中至多有一年年銷售量低于20噸的概率.

（Ⅱ）根據所給數據，求關于的回歸方程；

（Ⅲ） 若生產該產品的固定成本為200（萬元），且每生產1（噸）產品的生產成本為20（萬元）（總成本=固定成本+生產成本+年宣傳費），銷售收入為（萬元），假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），則2019年該公司應該投入多少宣傳費才能使利潤最大？（其中）

附：對于一組數據，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）（Ⅲ）100萬元

【解析】

（Ⅰ）利用古典概型計算公式即可得到結果；

（Ⅱ）分別求出u，v的平均數，求出相關系數求出回歸方程即可；

（Ⅲ）設該公司的年利潤為，因為利潤=銷售收入-總成本，根據二次函數的圖象與性質求最值即可.

解：(Ⅰ)記事件表示“至多有一年年銷量低于20噸”，由表中數據可知6年的數據中有2013年和2014年的年銷量低于20噸，記這兩年為，其余四年為，則從6年中任取2年共有， 15種不同取法，

事件包括，共14種取法，故

（Ⅱ）對兩邊取對數得，令得，由題中數據得：，

，

所以，由，得，

故所求回歸方程為

（Ⅲ）設該公司的年利潤為，因為利潤=銷售收入-總成本，所以由題意可知

，

所以當即時，利潤取得最大值500（萬元），故2019年該公司投入100萬元的宣傳費才能獲得最大利潤.