Question

【題目】已知函數，．

Ⅰ當時，求函數的最小值；

Ⅱ若對任意，恒有成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1 ； （2） .

【解析】

（1）求出函數的導數，根據導數判斷函數的單調區間，進而求出函數的最小值；

（2）要證，只需證明ex≥ln（x+m）+1成立即可，分情況討論，采用分離參數法，構造新函數，利用導數求得符合條件的m的取值范圍，進而問題得解.

（1）當時，，則．

令，得．

當時，；當時，．

∴函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．

∴當時，函數取得最小值，其值為．

（2）由（1）得：恒成立．

①當恒成立時，即恒成立時，條件必然滿足．

設，則，在區間上，，是減函數，在區間上，，是增函數，即最小值為．

于是當時，條件滿足．

②當時，，，即，條件不滿足．

綜上所述，m的取值范圍為．