Question

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣2，0），F2（2，0），離心率為．過焦點F2的直線l（斜率不為0）與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為D，O為坐標原點，直線OD交橢圓于M，N兩點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）當四邊形MF1NF2為矩形時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=．

【解析】

試題（I）由已知可得：，解得即可得出；

（II）由題意可知直線l的斜率存在，設直線l方程為y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．與橢圓方程聯立化為（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，．利用根與系數的關系、中點坐標公式可得：線段AB的中點D，可得直線OD的方程為：x+3ky=0（k≠0）．與橢圓方程聯立，解得=，x3=﹣3ky3．利用四邊形MF1NF2為矩形，可得=0，解出即可．

解：（I）由已知可得：，

解得a2=6，b2=2，

∴橢圓C的方程為；

（II）由題意可知直線l的斜率存在，

設直線l方程為y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．

聯立，化為（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，

∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，

∴線段AB的中點D，

∴直線OD的方程為：x+3ky=0（k≠0）．

聯立，解得=，x3=﹣3ky3．

∵四邊形MF1NF2為矩形，

∴=0，

∴（x3﹣2，y3）（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，

∴=0，

∴=0，解得k=，

故直線方程為y=．