Question

【題目】設函數.

（1）當時，求函數的最大值；

（2）令，其圖象上存在一點，使此處切線的斜率，求實數的取值范圍；

（3）當， 時，方程有唯一實數解，求正數的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】試題分析：（1）依題意確定的定義域，對求導，求出函數的單調性，即可求出函數的最大值；（2）表示出，根據其圖象上存在一點，使此處切線的斜率可得，在上有解，即可求出實數的取值范圍;（3）由，方程有唯一實數解，構造函數，求出的單調性，即可求出正數的值.

試題解析：（1）依題意， 的定義域為，當時， ，

由，得,解得

由,得，解得或

∵，∴在單調遞増，在單調遞減；所以的極大值為，此即為最大值

（2），則有，在上有解，

∴， ，∵，所以當時，

取得最小值，∴

（3）由得，令，

令， ，∴在上單調遞增，而，

∴在，即，在，即，

∴在單調遞減，在單調遞増，∴極小值，令，即時方程有唯一實數解.