Question

已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題中正確的是（　　）
（1）若m⊥α，m⊥β，則α⊥β；
（2）若m∥α，m∥β，則α∥β；
（3）若m⊥α，m∥β，則α⊥β；
（4）若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直．

A．（2）（3）

B．（1）（3）

C．（2）（4）

D．（3）（4）

Answer 1

分析：（1）若m⊥α，m⊥β，則α⊥β，可由垂直同一條直線的兩個平面的關系判斷；
（2）若m∥α，m∥β，則α∥β；可由面面平行的條件判斷；
（3）若m⊥α，m∥β，則α⊥β；可由面面垂直的判斷定理作出判斷；
（4）若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直，可找出兩異面直線的公垂線，利用一條直線與公垂線所成的平面與另一條異面直線垂直作出判斷．

解答：解：（1）若m⊥α，m⊥β，則α⊥β；此命題不正確，因為由m⊥α，m⊥β，可得出α∥β，故命題錯誤；
（2）若m∥α，m∥β，則α∥β；此命題錯誤，因為兩個平面平行于同一條直線不能保證兩個平面平行；
（3）若m⊥α，m∥β，則α⊥β；此命題正確，因為m∥β，則一定存在直線n在β，使得m∥n，又m⊥α可得出n⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β；
（4）若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直，此命題正確，因為兩異面直線一定存在一條公垂線，此公垂線與一條線所成的平面一定與兩條異面直線中的另一條垂直，故若異面直線m，n互相垂直，則存在過m的平面與n垂直是正確的
綜上知③④是正確命題
故選D

點評：本題考查平面與平面之間的位置關系，空間中兩個平面的位置關系主要有相交與平行，相交中比較重要的位置關系是兩面垂直，解答本題，有著較好的空間立體感知能力，能對所給的模型找到恰當的實物背景作出判斷是正確解答本題的關鍵，本題考查了利用基礎理論作出推理判斷的能力，是立體幾何中的基本．．