Question

直線x+

3

y-2=0與圓x²+y²=4相交于C₁的圓心為（3，0），且經過點A（4，1）．
（1）求圓C₁的方程；
（2）若圓C₂與圓C₁關于直線l對稱，點B、D分別為圓C₁、C₂上任意一點，求|BD|的最小值；
（3）已知直線l上一點M在第一象限，兩質點P、Q同時從原點出發，點P以每秒1個單位的速度沿x軸正方向運動，點Q以每秒2

2

個單位沿射線OM方向運動，設運動時間為t秒．問：當t為何值時直線PQ與圓C₁相切？

Answer 1

分析：（1）根據圓C₁的圓心為（3，0），求得半徑，從而求得圓的標準方程；
（2）求出圓C₁上的點到直線l的最短距離，根據圓C₂與圓C₁關于直線l對稱，可求|BD|的最小值；
（3）設運動時間為t秒，依據題意求得PQ的坐標，可得P、Q的斜率，由點斜式求的PQ的方程，再根據當直線PQ與圓C₁相切時，圓心C₁到直線PQ的距離等于半徑，求得t的值．

解答：解：（1）由題意可得，圓C₁的圓心為（3，0），半徑為

(4-3)2+1

=

2

∴圓C₁的方程為 （x-3）²+y²=2．；
（2）C₁到直線l的距離d=

|3-0|

1+1

=

3 2

2

∴圓C₁上的點到直線l的最短距離為

3 2

2

-

2

=

2

2

∵圓C₂與圓C₁關于直線l對稱，
∴|BD|_min=2×

2

2

=

2

；
（3）設運動時間為t秒，則由題意可得|OP|=t，|OQ|=2

2

t，則點P（t，0）．
由于點Q在直線l上，設Q（m，n），m＞0，n＞0，則有m²+n²=（2

2

t）²，解得m=2t，即Q（2t，2t）．
故PQ的斜率為

2t-0

2t-t

=2，
所以PQ的方程為y-0=2（x-t），即2x-y-2t=0．
當直線PQ與圓C₁相切時，圓心C₁到直線PQ的距離等于半徑，即

|2×3-0-2t|

22+1

=

2

，
解得t=3±

10

2

，
故當t=3±

10

2

時，直線PQ與圓C₁相切．

點評：本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．