Question

設橢圓=1（a＞b＞0）過點，且左焦點為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交與兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足•=•，證明：點Q總在某定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過橢圓焦點坐標知c=，且有a²=b²+c²，又點M的坐標滿足橢圓方程，則列方程組解之即可；
（Ⅱ）欲證點Q總在某定直線上，所以先設點Q的坐標為變量（x，y），點A、B的坐標分別為參數（x₁，y₁）、（x₂，y₂），然后根據已知條件可變形得，設其比值為λ則有、，此時利用定比分點定理可得A、B、P三點橫坐標關系及縱坐標關系，同時可得A、B、Q三點橫坐標關系及縱坐標關系，又因為點A、B的坐標滿足橢圓方程，則有x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，再利用已得關系式構造x₁²+2y₁²與x₂²+2y₂²則可整體替換為4，同時消去參數λ，最后得到變量x、y的關系式，則問題得證．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，
解得a²=4，b²=2，
所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）設點Q、A、B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題設知，，，均不為零，記，則λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四點共線，從而
于是，，，
從而①，②，
又點A、B在橢圓C上，即x₁²+2y₁²=4 ③，x₂²+2y₂²=4 ④，
①+②×2并結合③、④得4x+2y=4，
即點Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．
點評：本題綜合考查橢圓性質與定比分點定理，同時考查構造消元處理方程組的能力．