Question

【題目】現有邊長均為1的正方形正五邊形正六邊形及半徑為1的圓各一個，在水平桌面上無滑動滾動一周，它們的中心的運動軌跡長分別為，，，，則（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由題意可知，它們的中心滾動一周的運動軌跡都是圓心角為2π的弧長，設半徑分別為r1，r2，r3，r4，則半徑為中心與頂點的距離，由正方形、正五邊形、正六邊形得幾何特征可知，r1＜r2＜1，r3＝r4＝1，再利用弧長公式即可得到l1＜l2＜l3＝l4．

解：由題意可知，它們的中心滾動一周的運動軌跡都是圓心角為2π的弧長，

設半徑分別為r1，r2，r3，r4，由題意可知，半徑為中心與頂點的距離，

又因為正方形、正五邊形、正六邊形的邊長均為1，圓的半徑為1，

對于正方形，如圖所示：，∵∠AOB＝90°，∴；

對于正五邊形，如圖所示：，∵∠AOB＝72°＜90°，∠OAB＝∠OBA＝54°＜72°，∴r1＜r2＜1；

對于正六邊形，如圖所示：，∠AOB＝60°，∴△AOB為等邊三角形，∴r3＝OA＝1；

而 r4＝1，

又因為l1＝2πr1，l2＝2πr2，l3＝2πr3，l4＝2πr4，

所以l1＜l2＜l3＝l4，

故選：B．