Question

【題目】有限個元素組成的集合，，記集合中的元素個數為，即.定義，集合中的元素個數記為，當時，稱集合具有性質.

（1），，判斷集合，是否具有性質，并說明理由；

（2）設集合，且()，若集合具有性質，求的最大值；

（3）設集合，其中數列為等比數列，()且公比為有理數，判斷集合是否具有性質并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）集合不具有性質，集合具有性質，理由見解析.（2）.（3）集合具有性質，理由見解析.

【解析】

（1）根據定義即可判斷，進而得出答案.

（2）運用反證法即可得出答案.

（3）設，假設當時有成立，進而結合反證法證明假設不成立，進而得出答案.

（1）集合不具有性質，集合具有性質.

，不具有性質；

，具有性質.

（2）若三個數，，成等差數列，則不具有性質，理由是.

因為且()所以，

要使取最大，則；

，易知不具有性質，要使取最大，

則；

，要使取最大，檢驗可得；

（3）集合具有性質.

設等比數列的公比為為，所以()且為有理數，

假設當時有成立，則有

因為為有理數，設(，)且(，互質)，因此有

即（1），

（1）式左邊是的倍數，右邊是的倍數，又，互質，

顯然不成立.

所以，所以集合具有性質.