Question

【題目】若無窮數列滿足：，且對任意的，（，，，）都有，則稱數列為“G”數列.

（1）已知等比數列的通項為，證明：是“G”數列；

（2）記數列的前n項和為且有，若對每一個取，中的較小者組成新的數列，若數列為“G”數列，求實數的取值范圍？

（3）若數列是“G”數列，且數列的前n項之積滿足，求證：數列是等比數列.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）由數列為等比數列，根據其性質即可得證；

（2）由，可得，在根據其為“”數列，得出實數的取值范圍即可；

（3）利用是“”數列可以得出，在利用比值的形式即可求證.

（1）因為等比數列通項為，

當，時，

，

所以是“ “數列．

（2）因為，所以，

因為無窮數列滿足：，可知；

所以，，

又，

從而，

考察到數列從第二項起為等比數列，則同第（1）問，

有當，，，，恒有，

那么當時，由數列為“ “數列

可知對任意的，，，，恒有，

即有，等價于，恒成立，

由，知；

綜上：．

（3）若數列是“”數列，則，

①當時，

；

；

；

；

疊乘即可得出，即；

②當時；

；

；

；

；

；即；

即；

綜上所述：對任意的，均有；

，

；①

②；

由可得：，即③；

④；

由③④可得：；

；

數列是等比數列；