Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，函數的圖象恒不在軸的上方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，增區間為，當時，遞增區間為，減區間為；（2）.

【解析】分析：（1）求導可得，分和兩種情況討論可得函數的單調區間．（2）由題意得，且在上恒成立，，令，則，然后再根據的范圍分類討論可得所求范圍．

詳解：（1）∵，

∴．

①當時，則，所以在上單調遞增；

②當時，則由得，由得，

所以在上單調遞增，在上單調遞減．

綜上，當時，的單調遞增區間為；

當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由題意得，

∵當時，函數的圖象恒不在軸的上方，

∴在上恒成立．

設，

則.

令，

則，

①若，則，故在上單調遞增，

∴，

∴在上單調遞增，

∴，

從而，不符合題意．

②若，當時，，在上單調遞增，

∴，

∴在上單調遞增，

∴,

從而在上，不符合題意；

③若，則在上恒成立，

∴在上單調遞減，

∴，

∴在上單調遞減，

∴，

從而恒成立．

綜上可得實數的取值范圍是.