Question

【題目】已知拋物線：上的點到其焦點的距離為.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ） 已知直線不過點且與相交于，兩點，且直線與直線的斜率之積為1，證明：過定點.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y2=x；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：由題意求得，再根據拋物線的定義推導出，求得的值，代入即可求得的方程證法一：設直線的方程為，聯立方程解出，代入求出結果；證法二：設

表示出，設：，聯立直線與拋物線方程得，，代入求出結果；證法三：設：，聯立直線與拋物線方程，代入，化簡求出結果

解析：（Ⅰ）由題意，得，即.

由拋物線的定義，得.

由題意，.解得，或（舍去）.

所以的方程為.

（Ⅱ）證法一：設直線的斜率為（顯然），則直線的方程為，則.

由消去并整理得 .

設，由韋達定理，得，即.

.所以.

由題意，直線的斜率為.

同理可得，即.

若直線的斜率不存在，則.解得，或.

當時，直線與直線的斜率均為，，兩點重合，與題意不符；

當時，直線與直線的斜率均為，，兩點重合，與題意不符.

所以，直線的斜率必存在.

直線的方程為 ，即.

所以直線過定點.

證法二：由（1），得.

若的斜率不存在，則與軸垂直.

設，則，.

則 .

（，否則，，則，或，直線過點，與題設條件矛盾）

由題意，，所以.這時，兩點重合，與題意不符.

所以的斜率必存在.

設的斜率為，顯然，設：，

由直線不過點，所以.

由消去并整理得.

由判別式，得.

設，，則①，②，

則 .

由題意，.

故 ③

將①②代入③式并化簡整理得，即.

即，即.

又，即，所以，即.

所以：.顯然過定點.

證法三：由（1），得.

設：，由直線不過點，所以.

由消去并整理得.

由題意，判別式.

設，，則①，②

則 .

由題意，，即③

將①②代入③式得，即.

所以：.顯然過定點.