Question

已知函數f(x)=ln

1-x

1+x

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性并加以證明；
（3）判斷函數f（x）在定義域上的單調性并加以證明．

Answer 1

分析：（1）求函數f（x）的定義域，可令

1-x

1+x

＞0，解出此不等式的解集即可得到所求函數的定義域；
（2）判斷函數的奇偶性，要用定義法，由函數解析式研究f（-x）與f（x）的關系，即可證明出函數的性質；
（3）此函數是一個減函數，由定義法證明要先任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，再兩函數值作差，判斷差的符號，再由定義得出結論．

解答：解：（1）由題意令

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，所以函數的定義域是（-1，1）
（2）此函數是一個奇函數，證明如下
由（1）知函數的定義域關于原點對稱，且f(-x)=ln

1+x

1-x

=-ln

1-x

1+x

=-f(x)，故函數是奇函數；
（3）此函數在定義域上是減函數，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=ln

1-x1

1+x1

-ln

1-x2

1+x2

=ln

(1-x1)(1+x2)

(1-x2)(1+x1)

由于x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，可得

(1-x1)(1+x2)

(1-x2)(1+x1)

＞1，
所以ln

(1-x1)(1+x2)

(1-x2)(1+x1)

＞0
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函數在定義域是減函數

點評：本題考查了求函數的定義域，對數的運算法則，判斷函數的奇偶性，定義法證明函數單調性，正確解答本題，關鍵是熟練記憶函數的性質及這些性質判斷的方法，其中判斷函數的單調性是本題的難點，定義法判斷函數的單調性，其步驟是；取，作差，判號，得出結論，其中判號這一步易疏漏，切記