Question

【題目】已知函數

（1）討論函數的單調性；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）對求導，然后對分類討論即可求出的單調區間；
（2）根據的單調性，得出，必有，即，構造，求導，得出在上單調遞增，故由得，接下來驗證當時的零點情況即可.

解：（1）的定義域為，

因為，

若，則，則在單調遞增；

若，則當時，，當時，，

則在單調遞減，則單調遞增；

（2）由（1）可知，要使有兩個零點，則，

則，即，

構造，則，故在上單調遞增，

又，故當時，，故由得，

當時，由，則

結合零點存在性知，在存在唯一實數，使得，

構造，，則，

故在單調遞減，又，故，即，

則，故，

則，則，又，

結合零點存在性知，在存在唯一實數，使得，

綜上，當有兩個零點時，.