Question

【題目】已知函數(shù)g（x）= ，f（x）=g（x）﹣ax．
（1）求函數(shù)g（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知函數(shù)g（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），

且f（x）= ﹣ax（a＞0），定義域為（0，1）∪（1，+∞），

函數(shù)g′（x）= ，

當g′（x）＞0時，x＞e，當g′（x）＜0時，0＜x＜1，1＜x＜e，

∴g（x）在（0，1），（1，e）遞減，在（e，+∞）遞增

（2）解：∵f（x）在（1，+∞）遞減，

∴f′（x）= ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴x∈（1，+∞）時，f′（x）max≤0，

∵f′（x）=﹣ + ﹣a，

∴當 = ，即x=e2時，f′（x）max= ﹣a，

∴ ﹣a≤0，于是a≥ ，

故a的最小值為

【解析】（1）由函數(shù)g′（x）= ，得當g′（x）＞0時，x＞e，當g′（x）＜0時，0＜x＜1，1＜x＜e，從而g（x）在（0，1），（1，e）遞減，在（e，+∞）遞增，（2）由f′（x）= ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，得x∈（1，+∞）時，f′（x）max≤0，從而f′（x）=﹣ + ﹣a，故當 = ，即x=e2時，f′（x）max= ﹣a，得 ﹣a≤0，于是a≥ ，故a的最小值為 ．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調性的性質和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識點，需要掌握函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．