Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點(diǎn)，F(xiàn)₁F₂=8，P是橢圓上的點(diǎn)，PF₁+PF₂=10，且PF₁⊥PF₂，則點(diǎn)P的個數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)PF₁=x₁，PF₂=x₂，則可知x₁+x₂的值，根據(jù)勾股定理知x₁²+x₂²=F₁F₂²，進(jìn)而求得x₁x₂的值．根據(jù)韋達(dá)定理可知x₁，x₂是函數(shù)x²-10x+18=0的根，通過△判定方程有2不同根，故知P至少有2個，又根據(jù)橢圓的對稱可知點(diǎn)P的個數(shù)應(yīng)為4．

解答：解：設(shè)PF₁=x₁，PF₂=x₂，則x₁+x₂=10，
∵PF₁⊥PF₂，
∴x₁²+x₂²=64
∴x₁x₂=

1

2

[（x₁+x₂）²-x₁²+x₂²]=18，
依題意x₁，x₂，是函數(shù)x²-10x+18=0，
△=100-72=28＞0故方程有兩個不同根．
又根據(jù)橢圓的對稱性可知點(diǎn)p的個數(shù)為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．