Question

【題目】已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為.

（1）求動圓的圓心點的軌跡方程；

（2）過點的動直線與曲線交于兩點，平面內是否存在定點，使得直線分別交于兩點，使得直線的斜率，滿足？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：(1) 設動圓圓心，設圓交軸于兩點，連接，則，坐標化條件易得所求的軌跡方程；

（2）直線的方程為，由，結合韋達定理可知：直線的斜率為，由的直線的方程為，

代入拋物線方程，可解得： ，同理，于是直線的斜率，從而得到.

試題解析：

（1）設動圓圓心，設圓交軸于兩點，連接，

則，過點作，則點是的中點，

顯然，

于是，化簡整理得，故的軌跡方程為.

（2）設 ，

設直線的方程為，由，

得 ，所以，直線的斜率為，

由的直線的方程為，

由

于是，又，則，

于是，同理，

于是直線的斜率，

，即，

即恒成立，

故，解得，故 .