Question

（2008•上海一模）觀察數列：
①1，-1，1，-1，…；
②正整數依次被4除所得余數構成的數列1，2，3，0，1，2，3，0，…；
③a_n=tan

nπ

3

，n=1，2，3，…
（1）對以上這些數列所共有的周期特征，請你類比周期函數的定義，為這類數列下一個周期數列的定義：對于數列{a_n}，如果

存在正整數T

，對于一切正整數n都滿足

a_n+T=a_n

成立，則稱數列{a_n}是以T為周期的周期數列；
（2）若數列{a_n}滿足a_n+2=a_n+1-a_n，n∈N^*，S_n為{a_n}的前n項和，且S₂=2008，S₃=2010，證明{a_n}為周期數列，并求S₂₀₀₈；
（3）若數列{a_n}的首項a₁=p，p∈[0，

1

2

），且a_n+1=2a_n（1-a_n），n∈N^*，判斷數列{a_n}是否為周期數列，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據所給數據發現他們呈周期性變化，類比周期函數可得周期數列定義
（2）根據遞推關系a_n+2=a_n+1-a_n可用做差發求得a_n+6=-a_n+3=a_n，而a_k+a_k+1+-----+a_k+5=0，k∈N^*利用周期性知S₂₀₀₈=a₁+a₂+a₃+a₄=a₂+a₃=1007
（3）直接做比較困難，可以利用數學歸納法進行求解

解答：解：（1）存在正整數T，使a_n+T=a_n；
（2）證明：由a_n+2=a_n+1-a_n⇒a_n+3=a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n-a_n+1=-a_n⇒a_n+6=-a_n+3=a_n
所以數列，{a_n}是以T=6為周期的周期數列
由S₂=2008，S₃=2010，a₁+a₂=2008，a₁+a₂+a₃=2010⇒a₃=2
于是

a1+a2=2008 a2-a1=2

?

a1=1003 a2=1005

又a_k+a_k+1+-----+a_k+5=0，k∈N^*，
所以，S₂₀₀₈=a₁+a₂+a₃+a₄=a₂+a₃=1007
（3）當p=0時，{a_n}是周期數列，
因為此時a_n=0（n∈N*）為常數列，
所以對任意給定的正整數T及任意正整數n，
都有a_n+T=a_n，符合周期數列的定義．
當p∈（0，

1

2

）時，{a_n}是遞增數列，不是周期數列．
下面用數學歸納法進行證明：
①當n=1時，因為a₁=p，p∈（0，

1

2

）
所以a2=2a1(1-a1) =2p(1-p)＜2(

p+1-p

2

) =

1

2

2，
且a₂-a₁=2a₁（1-a₁）-a₁=a₁（1-2a₁）=p（1-2p）＞0
所以a₁＜a₂，a₂∈（0，

1

2

）
②假設當n=k時，結論成立，即a₁＜a₂＜---＜a_k，a_k∈（0，

1

2

），
則a_k+1^-a_k=2a_k（1-a_k）-a_k=a_k（1-2a_k）＞0即a_k＜a_k+1
所以當n=k+1時，結論也成立．
根據①、②可知，{a_n}是遞增數列，不是周期數列．

點評：本題考查了周期函數類比到周期數列，研究周期數列的有關問題．