Question

下列說法中，正確的是（　　）
①對于定義域為R的函數f（x），若函數f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），則函數f（x）的圖象關于x=1對稱；
②當a＞1時，任取x∈R都有a^x＞a^-x；
③“a=1”是“函數f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調遞增”的充分必要條件；
④設a∈{-1，1，

1

2

，3}，則使函數y=x^a的定義域為R且該函數為奇函數的所有a的值為1，3；
⑤已知a是函數f（x）=2^x-log_0.5x的零點，若0＜x₀＜a，則f（x₀）＜0．

A．①④

B．①④⑤

C．②③④

D．①⑤

Answer 1

分析：對①根據條件f（x+1）=f（1-x）與f（x）=f（2-x）等同，利用點關于直線的對稱點在函數圖象上來判斷函數圖象的對稱性；
對②x 與-x的大小不確定，可判斷；根據函數f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調遞增的條件，可判斷③是否正確；
對④根據冪函數的性質可求出符合條件的指數；
對⑤根據函數y=2^x，y=

log

x 0.5

的單調性確定f（x）=2^x-log_0.5x的單調性，來判斷⑤是否正確．

解答：解：∵f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），∴f（a）=f（2-a），設M（a、b）是函數上的任一點，M關于x=1的對稱點N（2-a，b）也在函數圖象上，∴f（x）的圖象關于x=1直線對稱，①正確；
∵a＞1，y=a^x為增函數，x與-x大小不定，∴②不正確；
∵a＞0 時函數f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調遞增，∴是充分不必要條件，故③不正確；
∵a=-1時定義域為{x|x≠0，x∈R}，a=

1

2

 時定義域是x≥0，a=1或3時，定義域為R且該函數為奇函數，故④正確；
∵f（a）=2^a-

log

a 0.5

=0，∵y=2^x為增函數，y=

log

x 0.5

為減函數，∴f（x）=2^x-log_0.5x為增函數，∴0＜x₀＜a，f（x₀）＜f（a）=0，故⑤正確；
故答案是①④⑤

點評：本題考查了冪函數、指數函數、對數函數的圖象、性質及應用；特別注意可用點關于直線的對稱點在函數圖象上來判斷和證明函數圖象的對稱性．這是證明函數圖象對稱性的常用方法．