Question

【題目】如圖，在市中心有一矩形空地．市政府欲將它改造成綠化景觀帶，具體方案如下：在邊上分別取點M，N，在三角形內建造假山，在以為直徑的半圓內建造噴泉，其余區域栽種各種觀賞類植物．

（1）若假山區域面積為，求噴泉區域面積的最小值；

（2）若，求假山區域面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設，半圓的直徑，根據假山區域面積為，找到與的關系，再表示出噴泉區域面積，求最值，注意驗證半圓是否在矩形空地內，即驗證是否能取到最小值；

（2）由（1）根據以為直徑的半圓區域在矩形廣場內，求得的范圍，再將假山區域面積用表示出來，再求最值.

解：（1）設，半圓的直徑，半圓的圓心為O．

在直角三角形中，，所以．

因為假山區域面積為，

所以

所以，所以噴泉區域面積，

當且僅當，即時取等號．此時．

因為點O到的距離，點O到的距離，

所以，即，

，即．

所以以為直徑的半圓區域一定在矩形廣場內．

所以當時，取得最小值．

噴泉區域面積的最小值為．

（2）由（1）知，若，則．

所以點O到的距離，

點O到的距離，

因為以為直徑的半圓區域在矩形廣場內，

所以即所以．

又因為，所以．

所以假山區域面積，

因為，所以，

所以當時，假山區域面積的最大值為．