Question

【題目】己知函數，，.

（1）求函數的零點個數；

（2）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）分離參數，利用導數得出的單調性，結合圖象，即可得出函數的零點個數；

（2）構造函數，，分類討論的值，利用導數得出其單調性以及最值，即可得出的取值范圍.

解：（1）由題意，可知，∴不是的零點

當時，令，整理得，

令，.則.

或；

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增

即在處取得極小值.

∵，；，；，

∴函數大致圖象如下圖所示：

結合圖形可知：①當，即時，無解，即無解，此時沒有零點，

②當，即時，有1個解，此時有1個零點，

③當，即時，有2個解，此時有2個零點，

④當，即時，有3個解，此時有3個零點，

綜上所述，當時，沒有零點；

當時，有1個零點；

當時，有2個零點；

當時，有3個零點.

（2）在上恒成立

∴在上恒成立

令，

；，即函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，則

令，，

當時，，則函數在區間上單調遞增

即恒成立

當時，；

則函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增

在區間上恒成立

令，

在區間上單調遞增

，解得

綜上，