Question

【題目】如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；

(2)建立空間直角坐標系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結合線面角的正弦值和同角三角函數基本關系可得線面角的余弦值.

(1)如圖所示，連結，

等邊中，，則，

平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，

由面面垂直的性質定理可得：平面，故，

由三棱柱的性質可知，而，故，且，

由線面垂直的判定定理可得：平面，

結合平面，故.

(2)在底面ABC內作EH⊥AC，以點E為坐標原點，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系.

設，則，,，

據此可得：，

由可得點的坐標為，

利用中點坐標公式可得：，由于，

故直線EF的方向向量為：

設平面的法向量為，則：

，

據此可得平面的一個法向量為，

此時，

設直線EF與平面所成角為，則.