Question

【題目】給定橢圓C：(a＞b＞0)，稱圓C1：x2＋y2＝a2＋b2為橢圓C的“伴隨圓”．已知橢圓C的離心率為，且經過點(0，1)．

（1）求實數a，b的值；

（2）若過點P(0，m)(m＞0)的直線l與橢圓C有且只有一個公共點，且l被橢圓C的伴隨圓C1所截得的弦長為2，求實數m的值．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝1（2）m＝3

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求橢圓方程中參數. 由題意，得b＝1，，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1．（2）設直線l的方程為y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，故方程組有且只有一組解．從而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．化簡，得m2＝1＋4k2．①因為直線l被圓x2＋y2＝5所截得的弦長為2，所以圓心到直線l的距離d＝．即．② 由①②，解得k2＝2，m2＝9．因為m＞0，所以m＝3．

試題解析：解：（1）記橢圓C的半焦距為c．

由題意，得b＝1，，c2＝a2＋b2，

解得a＝2，b＝1． 4分

（2）由（1）知，橢圓C的方程為＋y2＝1，圓C1的方程為x2＋y2＝5．

顯然直線l的斜率存在．

設直線l的方程為y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0． 6分

因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，

故方程組（*） 有且只有一組解．

由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．

從而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．

化簡，得m2＝1＋4k2．① 10分

因為直線l被圓x2＋y2＝5所截得的弦長為2，

所以圓心到直線l的距離d＝．

即． ② 14分

由①②，解得k2＝2，m2＝9．

因為m＞0，所以m＝3． 16分