Question

正整數(shù)集合A_k的最小元素為2，最大元素為2008，并且各元素從小到大排成一個(gè)公差為k的等差數(shù)列，則并集A₁₇∪A₅₉中的元素個(gè)數(shù)為

1. A.
   119
2. B.
   120
3. C.
   151
4. D.
   154

Answer 1

C
分析：根據(jù)正整數(shù)集合A_k的定義可知A₁₇是首項(xiàng)為2，公差為17的等差數(shù)列，由此不難確定A₁₇中的元素個(gè)數(shù)，同理可確定A₅₉中的元素個(gè)數(shù)，而并集A₁₇∪A₅₉中元素個(gè)數(shù)是：A₁₇中的元素個(gè)數(shù)+A₅₉中的元素個(gè)數(shù)A₁₇∩A₅₉中的元素個(gè)數(shù)．
解答：令x是A₁₇中的元素，則x-2是17的倍數(shù)
∵A_k的最小元素為2，最大元素為2008
則A₁₇中有118個(gè)元素
同理則A₅₉中有34個(gè)元素
而x∈A₁₇∩A₅₉時(shí)，則x-2是17與59的公倍數(shù)
因?yàn)?7和59都是素?cái)?shù)所以最小共倍數(shù)是17×59=1003，
所以最多有3個(gè)數(shù)字相同，
先找到第一個(gè)元素2，
再加1003n，即得其它兩個(gè)元素1005，2008，
故并集A₁₇∪A₅₉中元素有118+34-1=151個(gè)
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及集合元素的個(gè)數(shù)，判斷兩個(gè)集合并集中元素的個(gè)數(shù)要根據(jù)：Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）-Card（A∩B）其中Card（A）表示集合A中元素個(gè)數(shù)，屬于中檔題．