Question

已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x²＋2x，

(1)求函數g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；

(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在［－1，1］上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解析：此題考查綜合應用函數的奇偶性和增減性解決解析式和最值問題.

解：(1)設函數y=f(x)的圖象上任一點Q(x₀,y₀)關于原點的對稱點為P(x,y),?

則即

∵點Q(x₀,y₀)在函數y=f(x)的圖象上,?

∴-y=x²-2x,即y=-x²+2x.?

故g(x)＝-x²+2x.?

(2)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x²-|x-1|≤0.?

當x≥1時，2x²-x+1≤0.?

此時不等式無解.?

當x＜1時，2x²-x+1≤0.?

∴-1≤x≤.?

因此，原不等式的解集為［-1, ］.?

(3)h(x)=-(1+λ)x²+2(1-λ)x+1.?

①當λ=-1時，h(x)＝4x+1在［-1,1］上是增函數，∴λ=-1.?

②當λ≠-1時，對稱軸的方程為x=.

(ⅰ)當λ＜-1時，≤-1，解得λ＜-1.

(ⅱ)當λ＞-1時，≥1時，解得-1＜λ≤0.?

綜上，λ≤0.