Question

（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

如圖，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，,為DB的中點，

（Ⅰ）證明：AE⊥BC；

（Ⅱ）線段BC上是否存在一點F使得PF與面DBC所成的角為，若存在，試確定點F的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析

（Ⅱ）F為BC的中點

解析:

證明：（I）取BC的中點O，連接EO,AO,

EO//DC所以EO⊥BC ………………………………………………………………….…1分

因為為等邊三角形，所以BC⊥AO ……………………………………………3分

所以BC⊥面AEO,故BC⊥AE  …………………………………………………………4分

（II）方法一：連接PE，因為面BCD⊥面ABC，DC⊥BC

所以DC⊥面ABC，而EODC

所以EOPA，故四邊形APEO為矩形 …………………………………………7分

易證PE⊥面BCD,連接EF,則PFE為PF與面DBC所成的角，即PFE=…9分

在Rt△ PEF中，因為PE =AO=BC,故EF=BC,

因為BC=DC,所以EF=DC,又E為BD的中點，

所以F為BC的中點……………………………………………………………………..12分

方法二：以BC的中點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，

OE所在的直線為z軸建立空間坐標系，不妨設BC=2，則,設，

則，………………………………………………………………………7分

而平面BCD的一個法向量，則由

，………………………………………………………………………..9分

解得y＝0，故F為BC的中點。……………………………………………………..12