Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，為上一點，、為橢圓的兩焦點，的周長為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設橢圓，曲線的切線交橢圓于、兩點，試證：的面積為定值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(Ⅰ)由題意得：，，………………2分

則，，所以， ………………3分

故橢圓C的標準方程為． ………………4分

（Ⅱ）設，，

將代入橢圓的方程，消去可得，

顯然直線與橢圓的切點在橢圓內，所以，

由根與系數的關系得，， …………………6分

所以， …………………………………………………7分

因為直線與軸交點的坐標為，

所以的面積 …………………9分

，…………11分

設，

將代入橢圓的方程，可得， ………12分

由，可得，即， …………………………………………13分

又，故的面積為定值． ………………………14分

【命題意圖】本題主要考查直線的方程、橢圓的方程與性質、直線與圓、直線與橢圓的位置關系以及圓錐曲線中的定值與范圍問題，考查最基本的運算能力以及邏輯推理能力、方程的思想等，是難題．