Question

11．如圖，在四棱錐E-ABCD中，△ADE是正三角形，側(cè)面ADE⊥底面ABCD，AB∥DC，BD=2DC=4，AD=3，AB=5．
（Ⅰ）求證：BD⊥AE；
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的正切值；
（Ⅲ）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在正三角形ADE中，取AD中點G，連接EG，則EG⊥AD，利用面面垂直的性質(zhì)可得EG⊥BD．再由已知結(jié)合勾股定理可的BD⊥AD，由線面垂直的判定可得BD⊥平面ADE，則BD⊥AE；
（Ⅱ）取AE中點H，則DH⊥AE，結(jié)合（Ⅰ）可得AE⊥BH，則∠BHD為二面角B-AE-D的平面角．求解直角三角形可得二面角B-AE-D的正切值；
（Ⅲ）在Rt△ADB中，sin$∠ABD=\frac{3}{5}$，得sin∠CDB=$\frac{3}{5}$．利用面積公式求得△BDC的面積，再由等積法求三棱錐C-BDE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：在正三角形ADE中，取AD中點G，連接EG，則EG⊥AD，
∵側(cè)面ADE⊥底面ABCD，且側(cè)面ADE∩底面ABCD=AD，
∴EG⊥平面ABD，則EG⊥BD．
∵AD=3，BD=4，AB=5，∴AD²+BD²=AB²，則BD⊥AD，
∵AD∩EG=G，
∴BD⊥平面ADE，則BD⊥AE；
（Ⅱ）解：取AE中點H，則DH⊥AE，
由（Ⅰ）知BD⊥AE，則AE⊥平面BDH，∴AE⊥BH，
則∠BHD為二面角B-AE-D的平面角．
∴tan∠BHD=$\frac{BD}{DH}$=$\frac{4}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}$；
（Ⅲ）解：在Rt△ADB中，sin$∠ABD=\frac{3}{5}$，
∵AB∥DC，∴sin∠CDB=$\frac{3}{5}$．
則${S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×2×4×\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$．
∴${V}_{C-BDE}={V}_{E-BDC}=\frac{1}{3}×\frac{12}{5}×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查面面垂直的性質(zhì)與線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，正確找出二面角的平面角是解答（Ⅱ）的關(guān)鍵，是中檔題．